在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AD=4,AB=2,PB=2
5
,PD=4
2
.E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:AE⊥平面PCD;
(2)求平面ACE與平面ABCD所成二面角的余弦值;
(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)F,使得三棱錐F-ACE的體積恰為
4
3
,若存在,試確定點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)根據(jù)邊的長(zhǎng)度關(guān)系可知三角形PAD是等腰直角三角形,所以PA⊥AD,同理PA⊥AB,又AD∩AB=A,滿足線面垂直的判斷定理,則PA⊥平面ABCD,根據(jù)線面垂直得到面面垂直,再由面面垂直得到線線垂直,即CD⊥AE,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),三角形PAD是等腰直角三角形,從而AE⊥PD,又PD∩CD=D,滿足線面垂直的判定定理可得結(jié)論.
(2)解法一:取AD的中點(diǎn)K,連接EK,過(guò)K作KT⊥AC,垂足為T,連接ET.易知∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成二面角的平面角,在三角形ETK中求出此角的余弦值即可;解法二:以A為原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,先求出平面AEC的一個(gè)法向量,而
AP
是平面ABCD的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式即可求出所求;
(3)假設(shè)在線段BC上,存在點(diǎn)F(2,y0,0),使得三棱錐F-ACE的體積恰為
4
3
,然后求出點(diǎn)F(2,y0,0)到平面AEC的距離為h,而h=
|
AF•
n|
|n|
=
|4-y0|
22+1+1
解之即可.
解答:解:(1)因?yàn)镻A2+AD2=42+42=32,PD2=(4
2
2=32,
所以三角形PAD是等腰直角三角形,所以PA⊥AD.
同理PA2+AB2=42+22=20,PB2=(2
5
2=20,
所以三角形PAB是直角三角形,所以PA⊥AB.
又AD∩AB=A,所以PA⊥平面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD.
因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,
因?yàn)锳E?平面PAD,
所以CD⊥AE.
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),三角形PAD是等腰直角三角形,精英家教網(wǎng)
所以AE⊥PD.
又PD∩CD=D,所以AE⊥平面PCD.
(2)解法一:取AD的中點(diǎn)K,連接EK,過(guò)K作KT⊥AC,垂足為T,連接ET.

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EK∥PA,EK=2,EK⊥平面ABCD,
所以EK⊥AC.
又EK∩TK=K,所以AC⊥平面EKT,AC⊥ET,
故∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成二面角的平面角,
因?yàn)槿切蜬TA與三角形CDA相似,所以
TK
CD
=
AK
AC
,
又AC=
42+22
=2
5
,所以TK=
AK•CD
AC
=
2×2
2
5
=
2
5
5
,
所以ET=
(
2
5
5
)
2
+22
=
2
30
5
精英家教網(wǎng)
故cos∠ETK=
2
5
5
2
30
5
=
6
6

解法二:如圖,以A為原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),C(2,4,0),E(0,2,2),P(0,0,4),
AC
=(2,4,0),
AE
=(0,2,2),

設(shè)n=(x,y,z)是平面AEC的一個(gè)法向量,
則有
n•
AC
=0
n•
AE
=0
,得
x+2y=0
y+z=0
,
令z=1得y=-1,x=2,即n=(2,-1,1),
由(1)可知
AP
=(0,0,4)是平面ABCD的一個(gè)法向量,
所以cos<n,
AP
>=
(2,-1,1)•(0,0,4)
22+1+1
=
6
6

結(jié)合圖形易知,平面ACE與平面ABCD所成二面角的余弦值為
6
6

(3)如圖,假設(shè)在線段BC上,存在點(diǎn)F(2,y0,0),使得三棱錐F-ACE的體積恰為
4
3
,
精英家教網(wǎng)由(2)知,ET=
2
30
5
,
AC=2
5
,
則S△ACE=
1
2
AC•ET=
1
2
×2
5
×
2
30
5
=2
6
,
設(shè)F(2,y0,0)到平面AEC的距離為h,則
4
3
=
1
3
×2
6
×h,解得h=
6
3

AF
=(2,y0,0),n=(2,-1,1)為平面AEC的一個(gè)法向量,所以h=
6
3
=
|
AF•
n|
|n|
=
|4-y0|
22+1+1
,
得|4-y0|=2,所以y0=2或y0=6>4(舍去),
所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2,0),即點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)三棱錐F-ACE的體積恰為
4
3
點(diǎn)評(píng):本題是一道綜合題,考查了線面垂直的判定以及二面角的度量和幾何體的體積等有關(guān)問(wèn)題,同時(shí)考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問(wèn)題,以及空間想象能力和計(jì)算能力的考查,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC、PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求BD與平面ADMN所成角的大;
(3)求二面角B-PC-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4.AB=2,AN⊥PC于點(diǎn)N,M是PD中點(diǎn).
(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中點(diǎn)
(1)求證:直線MO∥平面PAB;
(2)求證:平面PCD⊥平面ABM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)求證:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•成都模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分別是PB、AD的中點(diǎn),
(I)證明:EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大。

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