Question

設(shè)f（x）=x²-2ax+2，（a∈R）
（1）當(dāng)x∈R時，f（x）≥a恒成立，求a的范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，求a的范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0在x∈R時恒成立
∴△=4a²-4（2-a）≤0
解得-2≤a≤1
（2）∵x∈[-1，+∞）時，f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立
∴x²-2ax+2≥a在x∈[-1，+∞）時恒成立
∴f（x）_min≤a
∵f，（x）=2x-2a
①a≤-1時，f，（x）=2x-2a≥0
∴f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（-1）=2a+3≥a
∴-3≤a≤-1
②a＞-1時，f（x）在[-1，a）上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（a）=2-a²≥a
解可得，-2≤a≤1
∴-1＜a≤1
綜上可得，-3≤a≤1
分析：（1）由題意可得，x²-2ax+2-a≥0在x∈R時恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知△=4a²-4（2-a）≤0，解不等式可求
（2）由x∈[-1，+∞）時，f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立可知f（x）_min≤a，結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性可求f（x）的最小值可求
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，此類問題常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．