Question

1．如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r=1，母線長l=4，M為母線SA上的一個點，且SM=x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A，求繩子最短時，頂點到繩子的最短距離$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$（用x表示）．

Answer 1

分析 算出側面展開扇形圓心角α=90°，因此將圓錐側面展開，可得繩子的最短長度為Rt△ASM中斜邊AM的長，由此利用勾股定理即可算出f（x）的表達式；由平面幾何性質(zhì)，可得繩子最短時定點S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，利用三角形面積等積變換求解，可得這個最短距離的表達式．

解答 解：∵底面半徑r=1，母線長l=4，
∴側面展開扇形的圓心角α=90°
因此，將圓錐側面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側面轉到點A，最短距離為Rt△ASM中，斜邊AM的長度
∵SM=x，SA=4
∴繩子的最短長度的平方f（x）=AM²=x²+4²=x²+16．
繩子最短時，定點S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，設這個距離等于d，
則d=$\frac{SM•AS}{AM}$=$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$，
故答案為$\frac{4x}{\sqrt{{x}^{2}+16}}$．

點評 本題在圓錐的表面拉一根繩子，求繩子長度的最小值．著重考查了圓錐的側面展開、勾股定理與三角形面積公式等知識，屬于中檔題．