Question

設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則：
（1）A點(diǎn)到CD₁的距離為

 

；
（2）A點(diǎn)到BDD₁B₁的距離為

 

；
（3）A點(diǎn)到面A₁BD的距離為

 

；
（4）AA₁與面BB₁D₁D的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲求A點(diǎn)到CD₁的距離，連接DC₁，即在直角三角形AOD中，求出AO的長(zhǎng)即得；
（2）欲求A點(diǎn)到面BDD₁B₁的距離，連接AC交BD于O，則AO即為A點(diǎn)到面BDD₁B₁的距離，求出AO的長(zhǎng)即得；
（3）欲求A點(diǎn)到面A₁BD的距離，根據(jù)三棱錐A-₁BD的體積公式可求得．
（4）AA₁與面BB₁D₁D的距離可以轉(zhuǎn)化為A點(diǎn)到面BDD₁B₁的距離．

解答： 解：（1）連接DC₁，交CD₁于O，連AO，則AO即為A點(diǎn)到CD₁的距離，
在直角三角形AOD中，AO=

DO2+AD2

=

6

2

，
（2）連接AC交BD于O′，則AO′即為A點(diǎn)到面BDD₁B₁的距離，且長(zhǎng)度為

2

2

；
（3）設(shè)A點(diǎn)到面A₁BD的距離為d，根據(jù)三棱錐的體積公式得：V=

1

3

Sd
其中V=

1

3

×

1

2

×1³=

1

6

，S=

3

4

•(

2

)2=

3

2

∴d=

3

3

．
（4）AA₁與面BB₁D₁D的距離即為A點(diǎn)到面BDD₁B₁的距離，即

2

2

．
故答案為：

6

2

；

2

2

；

3

3

；

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算以及空間想象能力，屬于中檔題．