Question

已知：如圖△ABC是邊長為2的等邊三角形，PC⊥面ABC，且PC=2，D是AP上一動點，

（1）D在運動過程中，是否有可能使得AP⊥面BCD？請說明理由；

（2）若D是AP的中點，求：

①異面直線CD與PB所成的角；

②直線BD與面PBC所成的角.

Answer 1

解：取AC的中點E，連結(jié)DE、BE則DE∥PC，BE⊥AC，?

∴DE⊥面ABC.?

如圖建立的空間坐標(biāo)系E—xyz,?

DE=PC=,BE=.?

∴A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),P(0,1,2),D(0,0, )?

(1) =(0,2,),=(-,1,0),?

∴=2≠0,∴AP不垂直于BC，∴AP不可能垂直面DBC，即不存在D點，使得AP⊥面DBC.?

(2)①=(-,1,2),=(0,-1,)，?

∴cos〈,〉==，?

∴PB與CD所成的角為60°.?

②設(shè)n=（x₀,y₀,z₀）是平面PBC的法向量，=（0，0，2），?

則n·=0，且n=0，∴

令y₀=-,則∴n=(-1,-,0).?

又=(-,0, ),?

∴cos〈n,〉===.?

∴直線BD與面PBC所成的角為arcsin.