Question

9．若（2x-1）²⁰¹³=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），則$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{a}^{2013}{a}_{1}}$=$\frac{1}{4026}$．

Answer 1

分析 利用賦值法求出a₀，a₀+a₁+…+a₂₀₁₃的值，化簡(jiǎn)$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}{•a}_{1}}$，求出它的值．

解答 解：（2x-1）²⁰¹³=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），
令x=0，得a₀=-1，
令x=$\frac{1}{2}$，得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$=-a₀=1，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}{a}_{1}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}{•a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$；
又a₁x=${C}_{2013}^{2012}$•（2x）•（-1）²⁰¹²=4026x，
∴a₁=4026；
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4026}$．
故答案為：$\frac{1}{4026}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，賦值法的應(yīng)用以及整體思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．