Question

在?ABCD中，AC=

65

，BD=

17

，周長為18，則這個平行四邊形的面積為（　�。�

• A、16
• B、17

  1

  2

• C、18
• D、32

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：設AB=CD=a，AD=BC=b，根據(jù)已知周長求出a+b=9，兩邊平方得到關系式，由余弦定理表示出AC²+BD²，把AC與BD長代入得到關系式，聯(lián)立求出a與b的值，過C作CE垂直AD于E，如圖所示，設DE=x，則AE=5-x，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，確定出AE的長，即可求出平行四邊形的面積．

解答： 解：設AB=CD=a，AD=BC=b，
由周長為18，得到a+b=9，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=81①，
∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴由余弦定理得：AC²+BD²=a²+b²-2abcos∠ABC+a²+b²-2abcos∠BCD=2（a²+b²），
把AC=

65

，BD=

17

代入得：a²+b²=41②，
②代入①得：ab=20，
與a+b=9聯(lián)立，解得：a=4，b=5，
過C作CE垂直AD于E，如圖所示，
設DE=x，則AE=5-x，
由勾股定理得：16-x²=17-（5-x）²=CE²，
解得：x=2.4，CE=3.2，
則S_{平行四邊形}=AD•CE=5×3.2=16，
故選：A．

點評：此題考查了余弦定理，完全平方公式的運用，以及勾股定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．