Question

已知向量，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若||=k||，且方向是沿的方向繞著A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的，則稱經(jīng)過一次（θ，k）變換得到．現(xiàn)有向量=（1，1）經(jīng)過一次（θ₁，k₁）變換后得到，經(jīng)過一次（θ₂，k₂）變換后得到，…，如此下去，經(jīng)過一次（θ_n，k_n）變換后得到．設(shè)=（x，y），，，則y-x等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可得（θ₁，k₁）=（1，），即當(dāng)n=1時(shí)，一次（θ₁，k₁）變換將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將所得向量的長(zhǎng)度再伸長(zhǎng)為原來的倍得到向量．因此當(dāng)=（1，1）時(shí)，運(yùn)用矩陣變換公式，算出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度所得向量=（cos1-sin1，sin1+cos1），從而得到=（x，y）=（1-，+1），所以y-x=．接下來再對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)在n=1時(shí)的情況進(jìn)行計(jì)算，對(duì)照所得結(jié)果可得只有B項(xiàng)是正確的選項(xiàng)．
解答：解：根據(jù)題意，，
∴一次（θ₁，k₁）變換就是將向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，
再將長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的倍，
即由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度而得，且=
設(shè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，所得的向量為=（x'，y'）
則有•=，
∴，即向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，
得到向量=（cos1-sin1，sin1+cos1），再將的模長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的倍，
得到=（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-，+1）
因此當(dāng)n=1時(shí)，=（x，y）=（1-，+1）
即，由此可得y-x=+1-（1-）=
對(duì)于A，當(dāng)n=1時(shí)===2，與計(jì)算結(jié)果不相等，故A不正確；
對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)==，與計(jì)算結(jié)果相等，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)n=1時(shí)==，與計(jì)算結(jié)果不相等，故C不正確；
對(duì)于D，當(dāng)n=1時(shí)===2，與計(jì)算結(jié)果不相等，故D不正確
綜上所述，可得只有B項(xiàng)符合題意
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮，求向量=（1，1）經(jīng)過n變換（θ_n，k_n）后得到的向量坐標(biāo)，著重考查了向量的線性運(yùn)算、用矩陣解決向量旋轉(zhuǎn)問題和數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，屬于中檔題．