A. | 98 | B. | 2-√32 | C. | 2516 | D. | √3-12 |
分析 畫出函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}的圖象,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得x1•x2=1,x1+x2>2√x1x2=2,(4-x3)•(4-x4)=1,且x1+x2+x3+x4=8,則不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,可化為:k≥11−(x21+x22)x3•x4−1恒成立,求出11−(x21+x22)x3•x4−1的最大值,可得k的范圍,進而得到實數(shù)k的最小值.
解答 解:函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}的圖象如下圖所示:
當方程f(x)=m有四個不等實根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)時,
|lnx1|=|lnx2|,即x1•x2=1,x1+x2>2√x1x2=2,
|ln(4-x3)|=|(4-x4)|,即(4-x3)•(4-x4)=1,
且x1+x2+x3+x4=8,
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,
則k≥11−(x21+x22)x3•x4−1恒成立,
由11−(x21+x22)x3•x4−1=11−(x1+x2)2+2x1x24(x3+x4)−16=13−(x1+x2)216−4(x1+x2)=14[(x1+x2)-4+3(x1+x2)−4+8]≤2-√32
故k≥2-√32,
故實數(shù)k的最小值為2-√32,
故選:B
點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用,對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題,綜合性強,轉(zhuǎn)化困難,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | √3 | B. | 2 | C. | √5 | D. | 2√3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 14 | B. | 16 | C. | 18 | D. | 20 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -23 | B. | 23 | C. | -13 | D. | 13 |
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