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8.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array},若當方程f(x)=m有四個不等實根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)時,不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,則實數(shù)k的最小值為 (  )
A.98B.2-32C.2516D.3-12

分析 畫出函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}的圖象,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得x1•x2=1,x1+x22x1x2=2,(4-x3)•(4-x4)=1,且x1+x2+x3+x4=8,則不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,可化為:k≥11x21+x22x3x41恒成立,求出11x21+x22x3x41的最大值,可得k的范圍,進而得到實數(shù)k的最小值.

解答 解:函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}的圖象如下圖所示:

當方程f(x)=m有四個不等實根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)時,
|lnx1|=|lnx2|,即x1•x2=1,x1+x22x1x2=2,
|ln(4-x3)|=|(4-x4)|,即(4-x3)•(4-x4)=1,
且x1+x2+x3+x4=8,
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,
則k≥11x21+x22x3x41恒成立,
11x21+x22x3x41=11x1+x22+2x1x24x3+x416=13x1+x22164x1+x2=14[(x1+x2)-4+3x1+x24+8]≤2-32
故k≥2-32,
故實數(shù)k的最小值為2-32
故選:B

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用,對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題,綜合性強,轉(zhuǎn)化困難,屬于難題.

練習冊系列答案
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