Question

已知函數(shù)f（x）=2+log₂x，x∈[1，8]，求函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及此時x的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由x²∈[1，8]，可推出log₂x的范圍，化簡函數(shù)y，運用配方即可得到最值．

解答： 解：∵x∈[1，8]，且x²∈[1，8]，
∴x∈[1，2

2

]，
∴0≤t=log₂x≤

3

2

，
又∵[f（x）]²+f（x²）=（2+log₂x）²+2+2log₂x
=（2+t）²+2+2t=t²+6t+6=（t+3）²-3，
則當(dāng)t=

3

2

，即x=2

2

，y取最大值，且為

69

4

．

點評：本題實質(zhì)考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．