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8.已知f(x)=3sinx•cosx+cos2x
(Ⅰ) 試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)△ABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且f(C)=32,求3c2+ab+324SABC的最小值.

分析 (I)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f(x)=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{1}{2},由2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,即可解得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(II)由題意可得sin(2C+\frac{π}{6})=1,解得2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,結(jié)合范圍0<C<π,可求C=\frac{π}{6},利用三角形面積公式,余弦定理,基本不等式化簡(jiǎn)所求即可得解.

解答 (本題滿分為14分)
解:(I)∵f(x)=\sqrt{3}sinx•cosx+cos2x=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{1}{2},
∴由2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,解得:kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6},k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[kπ-\frac{π}{3},kπ+\frac{π}{6}],k∈Z.…(7分)
(II)∵f(C)=sin(2C+\frac{π}{6})+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
∴sin(2C+\frac{π}{6})=1,
∴2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2},k∈Z,
∴C=\frac{π}{6}+kπ,k∈Z,
∵0<C<π,
∴C=\frac{π}{6},
∴可得:S△ABC=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{4}ab,c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-\sqrt{3}ab,
\frac{\sqrt{3}({c}^{2}+ab+3^{2})}{4{S}_{△ABC}}=\frac{\sqrt{3}[{a}^{2}+4^{2}+(1-\sqrt{3})ab]}{ab}=\sqrt{3}[\frac{a}+\frac{4b}{a}+(1-\sqrt{3})]≥5\sqrt{3}-3,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí),取等號(hào).…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),三角形面積公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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A.3B.4C.5D.6

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