Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，對(duì)于滿足0＜x₁＜x₂＜π的任意 x₁，x₂，給出下列結(jié)論
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0；
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁；
（4）＞．
其中正確的結(jié)論為________．（把所有正確的序號(hào)都填上）

Answer 1

解：函數(shù)f（x）=sinx，當(dāng)自變量在（0，π）上變化時(shí)，函數(shù)的圖象是先升后降，
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0?＜0，即圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0，由函數(shù)圖象的性質(zhì)知，此結(jié)論不成立
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）?，此說明函數(shù)的變化率隨著自變量的增大逐漸變小，與函數(shù)的變化率的變化相符，故結(jié)論正確；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁?，由導(dǎo)數(shù)的定義知此函數(shù)在所給的區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值恒小于1，符合題意，故結(jié)論正確；
（4）＞說明函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，而f（x）=sinx，當(dāng)自變量在（0，π）上不是凸函數(shù)，故此結(jié)論不正確
綜上（2）、（3）是正確的
故答案為：（2）、（3）
分析：本題要借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究，對(duì)四個(gè)命題的形式加以變化變成規(guī)范的形式，利用相關(guān)的性質(zhì)判斷即可．
對(duì)于選項(xiàng)（1）由于（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0等價(jià)于＜0故可借助函數(shù)的圖象得出結(jié)論
對(duì)于選項(xiàng)（2）由于 x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）等價(jià)于，可借助函數(shù)的變化率得出結(jié)論
對(duì)于選項(xiàng)（3）由于f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁等價(jià)于，故可借助函數(shù)的圖象變化規(guī)律得出結(jié)論
對(duì)于選項(xiàng)（4）＞說明函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，以此來比較函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的圖象，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，用正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷其單調(diào)性，知識(shí)性較強(qiáng)．