Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲線C：y²=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐標(biāo)原點(diǎn)）．則a₁=

 

；猜想a_n關(guān)于n的表達(dá)式為

 

．

Answer 1

分析：由題意可知直線A₀P₁為y=

3

x，然后與y²=3x聯(lián)立可得到P₁的坐標(biāo)，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐標(biāo)得到a₁的值，先根據(jù)題意可得到關(guān)系，然后根據(jù)y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），從而可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=n（n+1）．

解答：解：y=

3

x  ①
y²=3x    ②
∴P1(1，

3

)
∴a₁=2，
依題意，得 xn=

an-1+an

2

，yn=

3

•

an-an-1

2

，
由此及y_n²=3x_n得 (

3

•

an-an-1

2

)2=

3

2

(an-1+an)，
即（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n）．
由（1）可猜想：a_n=n（n+1）n∈N^*
故答案為：2；a_n=n（n+1）（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合題目，解題過程中，用到方程的求解，注意題目中的運(yùn)算比較繁瑣，不要在這種環(huán)節(jié)出錯(cuò)．