Question

已知函數(shù)，其中a，b∈R

(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)當(dāng)a＞0，且a為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)h(x)＝x[g(x)＋1]對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有成立，試用a表示出b的取值范圍；

(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.

 

Answer 1

(1)；(2)時(shí)，，時(shí)，；(3)1

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值；(2)解決本題的關(guān)鍵是由“對(duì)任意的x1＞x2≥4，總有成立”得出“在上單調(diào)遞增”，從而再次轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于0的問(wèn)題求解；(3)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求在上的最大值問(wèn)題求解.解題過(guò)程中要注意對(duì)參數(shù)的合理分類(lèi)討論.

試題解析：(1)∵，令，得

∴在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增

∴在處取得最小值

即； 4分

(2)由題意，得在上單調(diào)遞增

∴在上恒成立

∴在上恒成立 5分

構(gòu)造函數(shù)

則

∴F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

(i)當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴

∴，從而 7分

(ii)當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增

，從而 8分

綜上，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，； 9分

(3)當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)

由題意，有對(duì)恒成立

∵

(i)當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增

∴在上成立，與題意矛盾. 11分

(ii)當(dāng)時(shí)，令

則，由于

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減

∴，即在上成立

∴在上單調(diào)遞減

∴在上成立，符合題意 12分

②當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∵

∴在成立，即在成立

∴在上單調(diào)遞增

∴在上成立，與題意矛盾 13分

綜上，a的最小值為1 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，范圍與最值，分類(lèi)與整合.