【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個極值點
,
,求證:
.
【答案】(1)當時,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
當時,
在
上單調(diào)遞減;
當時,
在
,
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
(2)見解析
【解析】
(1)求出,令
,
,討論
的取值,判斷
的符號,從而可求出
的單調(diào)性.
(2)由(1)得時,
有兩個極值點
,設(shè)
,則有
且
,整理
,
,令
,
,利用導數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,可得
,進而可得證
解:(1),
令,
,
①當時,
在
上單調(diào)遞減,
②當時,
,由
得
,
,
當時
,當
時,
,
∴在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
③當時,
,
,∴
在
上單調(diào)遞減,
④當時,
,由
得
,
當或
時,
,
當時,
,
∴在
,
上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增,
綜上所述,
當時,
在
上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增;
當時,
在
上單調(diào)遞減;
當時,
在
,
上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增.
(2)由(1)得時,
有兩個極值點
,設(shè)
,
則有且
,
∴
,
,
令,
,
,
令,則
,
∵,∴
,
,
,
∴當時,
,∴
在區(qū)間
單調(diào)遞增,
∴,∴
在區(qū)間
單調(diào)遞減,
∴,
綜上,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電視臺舉行文藝比賽,并通過網(wǎng)絡(luò)對比賽進行直播.比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分,場外觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評分.每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定.某選手參與比賽后,現(xiàn)場專家評分情況如表;場外有數(shù)萬名觀眾參與評分,將評分按照[7,8),[8,9),[9,10]分組,繪成頻率分布直方圖如圖:
專家 | A | B | C | D | E |
評分 | 9.6 | 9.5 | 9.6 | 8.9 | 9.7 |
(1)求a的值,并用頻率估計概率,估計某場外觀眾評分不小于9的概率;
(2)從5名專家中隨機選取3人,X表示評分不小于9分的人數(shù);從場外觀眾中隨機選取3人,用頻率估計概率,Y表示評分不小于9分的人數(shù);試求E(X)與E(Y)的值;
(3)考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分:方案一:用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)作為該選手的最終得分,方案二:分別計算專家評分的平均數(shù)
和觀眾評分的平均數(shù)
,用
作為該選手最終得分.請直接寫出
與
的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
,以
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線
的直角坐標方程;
(2)設(shè)點在曲線
上,直線
交曲線
于點
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點
在拋物線
:
上,直線
:
與拋物線
交于
,
兩點,且直線
,
的斜率之和為-1.
(1)求和
的值;
(2)若,設(shè)直線
與
軸交于
點,延長
與拋物線
交于點
,拋物線
在點
處的切線為
,記直線
,
與
軸圍成的三角形面積為
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
,且直線
與曲線
交于
、
兩點.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,點
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某快遞公司收取快遞費用的標準是:重量不超過的包裹收費10元;重量超過
的包裹,除收費10元之外,超過
的部分,每超出
(不足
,按
計算)需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).
(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù);
(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人,每人每天工資100元,以樣本估計總體,試估計該公司每天的利潤有多少元?
(3)小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出,且每個包裹重量都不超過
,求他支付的快遞費為45元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在中,
,
.已知
,
分別是
,
的中點.將
沿
折起,使
到
的位置且二面角
的大小是
.連接
,
,如圖:
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲,乙,丙,丁四位同學對這四件參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或
作品獲得一等獎”; 乙說:“
作品獲得一等獎”;
丙說:“ 兩件作品未獲得一等獎”; 丁說:“是
作品獲得一等獎”.
評獎揭曉后,發(fā)現(xiàn)這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是_________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于圓周率,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計
的值:先請
名同學,每人隨機寫下一個都小于
的正實數(shù)對
,再統(tǒng)計兩數(shù)能與
構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對
的個數(shù)
;最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計
的值.假如統(tǒng)計結(jié)果是
那么可以估計
______.
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