Question

【題目】設數列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， ，…，即當 ＜n≤ （k∈N*）時， ．記Sn=a1+a2+…+an（n∈N）．對于l∈N ， 定義集合Pl=﹛n|Sn為an的整數倍，n∈N ， 且1≤n≤l}
（1）求P11中元素個數；
（2）求集合P2000中元素個數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由數列{an}的定義得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，

a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，

所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，

S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，

從而S1=a1，S4=0a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，

所以集合P11中元素的個數為5；

（2）

解：先證：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．

事實上，①當i=1時，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；

②假設i=m時成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），則i=m+1時，

S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3

=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．

綜合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2

=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．

由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍數，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），

所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍數．

又S（i+1）（2i+1）=（i+1）（2i+1）不是2i+2的倍數，

而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），

所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）+j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）

不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍數，

故當l=i（2i+1）時，集合Pl中元素的個數為1+3+…+（2i﹣1）=i2，

于是，當l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）時，集合Pl中元素的個數為i2+j．

又2000=31×（2×31+1）+47，

故集合P2 000中元素的個數為312+47=1008．

【解析】（1）由數列{an}的定義，可得前11項，進而得到前11項和，再由定義集合Pl ， 即可得到元素個數；（2）運用數學歸納法證明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再結合定義，運用等差數列的求和公式，即可得到所求．
【考點精析】通過靈活運用數學歸納法的定義，掌握數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法即可以解答此題．