Question

4．在△ABC中A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c
（1）若a=2，b=3，c=x，且∠C為鈍角，求x的范圍
（2）若a²+b²-ab=4，且∠C=30°，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由∠C為鈍角便可得到cosC＜0，從而根據(jù)余弦定理便可得到$\frac{4+9-{x}^{2}}{12}＜0$，解該不等式即可得出x的范圍；
（2）可知a²+b²≥2ab，從而由a²+b²-ab=4便可得到ab≤4，又知道∠C=30°，從而由三角形的面積公式即可求出△ABC的面積S的范圍，即可得出△ABC的面積S的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵∠C為鈍角，
∴由余弦定理得，$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{4+9-{x}^{2}}{12}＜0$；
∵x＞0，∴解得$x＞\sqrt{13}$；
又x＜2+3；
∴x的范圍為$（\sqrt{13}，5）$；
（2）由a²+b²-ab=4得a²+b²=ab+4≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
∴ab≤4；
又∠C=30°；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absin30°=\frac{ab}{4}≤1$；
∴△ABC的面積S的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 考查鈍角的余弦值小于0，余弦定理，以及不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用，三角形的面積公式，不等式的性質(zhì)．