【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若,求證:函數(shù)在(1+∞)上是增函數(shù);

(Ⅱ)求函數(shù)[1,e]上的最小值及相應(yīng)的.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:)代入,求導(dǎo),通過導(dǎo)數(shù)恒為正值進(jìn)行證明;()求導(dǎo),通過討論參數(shù)的取值,研究函數(shù)的極值點(diǎn)與所給區(qū)間的關(guān)系,進(jìn)而研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性和極值、最值進(jìn)行求解.

試題解析:(Ⅰ)當(dāng)a=﹣2時(shí),f(x)=x2﹣2lnx,當(dāng)x∈(1,+∞),,故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ),當(dāng)x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].

a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非負(fù)(僅當(dāng)a=﹣2,x=1時(shí),f'(x)=0),

故函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),此時(shí)[f(x)]min=f(1)=1.

若﹣2e2<a<﹣2,當(dāng)時(shí),f'(x)=0;當(dāng)時(shí),f'(x)<0,

此時(shí)f(x)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)是增函數(shù).

[f(x)]min==

a≤﹣2e2,f'(x)在[1,e]上非正(僅當(dāng)a=﹣2e2,x=e時(shí),f'(x)=0),

故函數(shù)f(x)在[1,e]上是減函數(shù),此時(shí)[f(x)]min=f(e)=a+e2

綜上可知,當(dāng)a≥﹣2時(shí),f(x)的最小值為1,相應(yīng)的x值為1;

當(dāng)﹣2e2<a<﹣2時(shí),f(x)的最小值為,相應(yīng)的x值為

當(dāng)a≤﹣2e2時(shí),f(x)的最小值為a+e2,相應(yīng)的x值為e

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