如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥AB，PC⊥BC，AC=PC=，PA=，PB=，D、F分別是PB、AC的中點(diǎn)，
(1)求證直線DF⊥平面ABC；
(2)求二面角C-PA-B大小的余弦值．

(1)證明：如圖①，取AB、BC的中點(diǎn)E、G，連接DE、EF、DG、FG，
則FG∥AB，EF∥BC，DE∥PA，
∵PA⊥AB，∴DE⊥AB，
由勾股定理可得AB=2，BC=1，
又AC=，
∴AC2=AB2+BC2，
∴AB⊥BC，∴EF⊥AB，
∴AB⊥平面DEF，
∴DF⊥AB，同理DF⊥BC，
又AB、BC相交于B點(diǎn)，
∴直線DF⊥平面ABC。
(2)解：如圖②，取PA的中點(diǎn)Q，連接QD，DC，QC，
∵PC=CA，PQ=QA，∴CQ⊥PA，
∵AB∥QD，AB⊥PA，
∴DQ⊥PA，
∴∠DQC為二面角C-PA-B的平面角，
在Rt△PCB中，，
在△PAB中，，
在△QAC中，，
所以，在△DQC中，由余弦定理，可得，
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（
1
2
，x，y），且
1
x
+
a
y
≥8恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，tanθ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
，則PA=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，點(diǎn)D，E分別在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求證：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí)，求多面體ABCED與PAED的體積比．

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