Question

如圖，OMN是半徑為2，圓心角為120°的扇形，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．
（1）當(dāng)

CN

=

1

4

MN

時(shí)，求CD的長(zhǎng)．
（2）求矩形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得，∠NOC=30°，由對(duì)稱(chēng)性，可知，∠COE=30°，則△DOC為等腰三角形，且CD=OD，通過(guò)解直角三角形，即可得到；
（2）設(shè)∠COE=α，設(shè)OE交AD于E，交BC于F，顯然矩形ABCD關(guān)于OE對(duì)稱(chēng)，而E，F(xiàn)均為AD，BC的中點(diǎn)，先把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角α表示出來(lái)，進(jìn)而表示出矩形的面積，再利用角α的范圍來(lái)求出矩形面積的最大值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)

CN

=

1

4

MN

時(shí)，即有∠NOC=30°，
由對(duì)稱(chēng)性，可知，∠COE=30°，
則△DOC為等腰三角形，且CD=OD，
由等腰三角形的三線合一，則CDcos30°=1，
解得，CD=

2 3

3

；
（2）設(shè)∠COE=α，
設(shè)OE交AD于E，交BC于F，顯然矩形ABCD關(guān)于OE對(duì)稱(chēng)，
而E，F(xiàn)均為AD，BC的中點(diǎn)，在Rt△OFC中，CF=2sinα，OF=2cosα．
則BC=AD=4sinα，OE=OF-EF=2cosα-CD，DE=OEtan60°=

3

OE=2sinα，
即有CD=2cosα-

2 3

3

sinα，
則矩形ABCD的面積S=CD•BC=（2cosα-

2 3

3

sinα）•4sinα
=8sinαcosα-

8 3

3

sin²α=4sin2α-

4 3

3

(1-cos2α)
=

8 3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

4 3

3

=

8 3

3

sin（2α+

π

6

）-

4 3

3

，
當(dāng)sin（2α+

π

6

）=1即α=

π

6

時(shí)，面積取得最大值，且為

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的有關(guān)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題；解決這一類(lèi)型題目的關(guān)鍵在與把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，最終利用數(shù)學(xué)知識(shí)解題．