Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（0）=1，f（1）=0，且f（x+1）是偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥1}\\{-f（2-x），x＜1}\end{array}\right.$，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（0）=1，f（1）=0，且f（x+1）是偶函數(shù)，列出方程組求出a，b，c，由此能求出f（x）的值．
（2）求出$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^2}x≥1\\-{（x-1）^2}x＜1\end{array}\right.$，從而t≤x²-x對(duì)任意x∈[t，t+2]恒成立，令φ（x）=x²-x，利用分類討論思想能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（0）=1，f（1）=0，且f（x+1）是偶函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（0）=c=1\\ f（1）=a+b+c=0\\-\frac{2a}=1\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-2x+1-…（3分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥1}\\{-f（2-x），x＜1}\end{array}\right.$，
∴$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^2}x≥1\\-{（x-1）^2}x＜1\end{array}\right.$，
由題意知h（x）在R上單調(diào)遞增，∴h（x+t）≤h（x²）⇒x+t≤x²，
即t≤x²-x對(duì)任意x∈[t，t+2]恒成立，…（5分）
令φ（x）=x²-x，得：
①當(dāng)$t＞\frac{1}{2}$時(shí)，φ（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
$φ{(diào)（x）_{min}}=φ（t）={t^2}-t≥t⇒t≤0$或t≥2，∴t≥2；…（7分）
②當(dāng)$t+2≤\frac{1}{2}$即$t≤-\frac{3}{2}$時(shí)，φ（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增減，
$φ{(diào)（x）_{min}}=φ（t+2）={（t+2）^2}-（t+2）≥t⇒{t^2}+2t+2≥0$，此式恒成立，∴t$≤-\frac{3}{2}$．…（9分）
③當(dāng)$-\frac{3}{2}＜t≤\frac{1}{2}$時(shí)，$φ{(diào)（x）_{min}}=φ（\frac{1}{2}）={（{\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{2}≥t⇒t≤-\frac{1}{4}$，∴-$\frac{3}{2}$$＜t≤-\frac{1}{4}$．      …（11分）
綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為$（{-∞，-\frac{1}{4}}]∪[{2，+∞}]$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．