Question

11．已知f（x）=x³-3x+m，若在區(qū)間[0，2]上任取三個數(shù)a、b、c，均存在以f（a）、f（b）、f（c）為邊長的三角形，則實數(shù)m的取值范圍為（6，+∞）．

Answer 1

分析 三角形的邊長為正數(shù)，而且任意兩邊之和大于第三邊才能構(gòu)成三角形，故只需求出函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值與最大值，從而可得不等關(guān)系，即可求解．

解答 解：f（x）=x³-3x+m，求導f'（x）=3x²-3，由f'（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]內(nèi)，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞增，
則f（x）_min=f（1）=m-2，f（x）_max=f（2）=m+2，f（0）=m．
在[0，2]上任取三個數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊的三角形，
三個不同的數(shù)a，b，c對應的f（a），f（b），f（c）可以有兩個相同．
由三角形兩邊之和大于第三邊，可知最小邊長的二倍必須大于最大邊長．
由題意知，f（1）=-2+m＞0…（1），
f（1）+f（1）＞f（0），得到-4+2m＞m…（2），
f（1）+f（1）＞f（2），得到-4+2m＞2+m…（3），
由（1）（2）（3）得到m＞6為所求．
故答案為：（6，+∞）．

點評 本題以函數(shù)為載體，考查構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值與最大值．