已知曲線f（x）=x3+x2+x+3在x=-1處的切線恰好與拋物線y=2ax2相切，則過該拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交截得的線段長度為
 
．
分析：為求斜率，先求導函數(shù)，得到切線方程，從而可求拋物線方程，進而求出線段長．
解答：解：f′（x）=3x2+2x+1f′（-1）=2，2a=2，a=1，拋物線y=2x2，其焦點坐標為(0，
1
8
)，所以當y=
1
8
時，x=±
1
4
，故所求線段長為
1
2
，
故答案為
1
2
．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，要求過曲線上一點處的切線方程，一般先求出該點的導數(shù)值（斜率），再用點斜式寫出后化簡，同時我們還可以據(jù)此寫出該點處的法線方程，考查轉化思想，屬于基礎題．考查了學生運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=
x-1
在點A（2，1）處的切線為直線l
（1）求切線l的方程；
（2）求切線l，x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+5，若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且當x=
23
時，y=f（x）有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=x3+bx2+cx在點A（-1，f（-1）），B（3，f（3））處的切線互相平行，且函數(shù)f（x）的一個極值點為x=0．
（Ⅰ）求實數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f(x)，x∈[-
12
，3]的圖象與直線y=m恰有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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