Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x-1

．
（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明f(x)=

x

x-1

在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）求函數(shù)f(x)=

x

x-1

在區(qū)間[3，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，取值、作差、變形、定號(hào)下結(jié)論，即可證得；
（2）由（1）可知，函數(shù)f(x)=

x

x-1

在[3，4]上為單調(diào)遞減函數(shù)，由此可得函數(shù)f(x)=

x

x-1

在區(qū)間[3，4]上的最大值與最小值．

解答：（1）證明：設(shè)x₁，x₂為區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=

x

x-1

在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（2）解：由（1）可知，函數(shù)f(x)=

x

x-1

在[3，4]上為單調(diào)遞減函數(shù)
所以在x=3時(shí)，函數(shù)f(x)=

x

x-1

取得最大值

3

2

；在x=4時(shí)，函數(shù)f(x)=

x

x-1

取得最小值

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，考查利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，掌握函數(shù)單調(diào)性的證題步驟是關(guān)鍵．