分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過k為偶數(shù)與奇數(shù),求解函數(shù)的極值即可.
(2)k=2016,化簡關(guān)于x的方程f(x)=2ax,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2-2alnx-2ax,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出極值點,判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的零點個數(shù),求解即可.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2-(-1)k2alnx(k∈N,a∈R且a>0).
可得f′(x)=2x−(−1)k2a•1x,
當(dāng)k為奇數(shù)時,f′(x)=2x+2ax>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)無極值.
當(dāng)k為偶數(shù)時,f′(x)=2x−2ax=2x2−2ax=2(x+√a)(x−√a)x,
∴f(x)在(0,√a)上單調(diào)遞減,(√a,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)有極小值,f(x)極小值=f(√a)=a−2aln√a=a−alna…(5分)
(2)∵k=2016,則f(x)=x2-2alnx,
令g(x)=x2-2alnx-2ax,g′(x)=2x−2ax−2a=2x2−2ax−2ax=2x(x2−ax−a)
令g′(x)=0,∴x2-ax-a=0,∵a>0,x>0,∴x0=a+√a2+4a2.
當(dāng)x∈(0,x0)時,g′(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,∴g(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增…(9分)
又g(x)=0有唯一解,∴{g(x0)=0g′(x0)=0,即{x20−2alnx0−2ax0=0,①x20−ax0−a=0,②…(10分)
②-①得:2alnx0+ax0-a=0⇒2lnx0+x0-1=0⇒x0=1.
∴12-a-a=0.
∴a=12…(12分)
點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的極值以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -\frac{4+\sqrt{2}}{8} | B. | -\frac{4-\sqrt{2}}{8} | C. | -\frac{4-\sqrt{2}}{6} | D. | -\frac{4+\sqrt{2}}{6} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A規(guī)格 | B規(guī)格 | C規(guī)格 | |
第一種鋼板 | 2 | 1 | 1 |
第二種鋼板 | 1 | 3 | 1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1+3i | B. | 1-3i | C. | 3+i | D. | 3-i |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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