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11.已知函數(shù)f(x)=x2-(-1)k2alnx(k∈N,a∈R且a>0).
(1)求f(x)的極值;
(2)若k=2016,關(guān)于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過k為偶數(shù)與奇數(shù),求解函數(shù)的極值即可.
(2)k=2016,化簡關(guān)于x的方程f(x)=2ax,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2-2alnx-2ax,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出極值點,判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的零點個數(shù),求解即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x2-(-1)k2alnx(k∈N,a∈R且a>0).
可得fx=2x1k2a1x
當(dāng)k為奇數(shù)時,fx=2x+2ax0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)無極值.
當(dāng)k為偶數(shù)時,fx=2x2ax=2x22ax=2x+axax,
∴f(x)在0a上單調(diào)遞減,a+上單調(diào)遞增,
∴f(x)有極小值,fx=fa=a2alna=aalna…(5分)
(2)∵k=2016,則f(x)=x2-2alnx,
令g(x)=x2-2alnx-2ax,gx=2x2ax2a=2x22ax2ax=2xx2axa
令g′(x)=0,∴x2-ax-a=0,∵a>0,x>0,∴x0=a+a2+4a2
當(dāng)x∈(0,x0)時,g′(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,∴g(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增…(9分)
又g(x)=0有唯一解,∴{gx0=0gx0=0,即{x202alnx02ax0=0x20ax0a=0…(10分)
②-①得:2alnx0+ax0-a=0⇒2lnx0+x0-1=0⇒x0=1.
∴12-a-a=0.
a=12…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的極值以及構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.

練習(xí)冊系列答案
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A規(guī)格

B規(guī)格

C規(guī)格
第一種鋼板   2    1     1
第二種鋼板   1    3     1
第一種鋼板面積為1m2,第二種鋼板面積為2m2,今分別需要A規(guī)格小鋼板15塊,B規(guī)格小鋼板27塊,C規(guī)格小鋼板13塊.
(1)設(shè)需裁第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,用x,y列出符合題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)在滿足需求的條件下,問各裁這兩種鋼板多少張,所用鋼板面積最��?

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