Question

【題目】在中，給出如下命題:

①是所在平面內一定點，且滿足，則是的垂心；

②是所在平面內一定點，動點滿足，，則動點一定過的重心；

③是內一定點，且，則；

④若且，則為等邊三角形，

其中正確的命題為_____（將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①:運用已知的式子進行合理的變形，可以得到，進而得到，再次運用等式同樣可以得到,，這樣可以證明出是的垂心；

②：運用平面向量的減法的運算法則、加法的幾何意義，結合平面向量共線定理，可以證明本命題是真命題；

③：運用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量共線定理，結合面積公式，可證明出本結論是錯誤的；

④：運用平面向量的加法幾何意義和平面向量的數量積的定義，可以證明出本結論是正確的.

①: ，同理可得：,，所以本命題是真命題；

②: ，設的中點為，所以有，因此動點一定過的重心，故本命題是真命題；

③: 由，可得設的中點為，,

,故本命題是假命題；

④: 由可知角的平分線垂直于底邊，故是等腰三角形，

由可知：，所以是等邊三角形，故本命題是真命題，因此正確的命題為①②④.