Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求點E到平面ACD的距離；
（III）求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

證明：（I）△ABD中，∵AB=AD=，O是BD中點，BD=2
∴AO⊥BD且 =1
△BCD中，連接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且
△AOC中AO=1，CO=，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD．（5分）
解：（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ACD的法向量為=（x，y，z）則

即．（7分）

令y=1得=（-，1，）是平面ACD的一個法向量．．（8分）
又=（-，，0）
∴點E到平面ACD的距離h==．（10分）
（III）∵AO⊥平面BCD
∴=（0，0，1）為平面BCD的一個法向量；
∴cos＜，＞==
則二面角A-CD-B的余弦值為．（14分）
分析：（I）如圖所示，要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，結(jié)合已知條件，根據(jù)勾股定理即可得到答案．
（II）以O(shè)為原點，以O(shè)B，OC，OA方向為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)點E到平面ACD的距離h=，可求出點E到平面ACD的距離；
（III）結(jié)合（II）中結(jié)論，再由AO⊥平面BCD，即為平面BCD的一個法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-CD-B的余弦值．
點評：本題考查的知識點是空間直線與平面垂直的判定，空間點到平面的距離，二面角的平面角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，（II）（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解決空間距離和夾角問題．