Question

20．下列說法：
①y=tanx在其定義域內為增函數；
②$y=sin|{2x+\frac{π}{6}}|$的最小正周期為π．
③已知$\overrightarrow a=（2，λ）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是$（{-∞，\frac{6}{5}}）$；
④函數y=a+2•2^x+4^x在x∈（-∞，1]上y＜0恒成立，則a＜-8．
其中正確的是④．（寫出所有正確答案）

Answer 1

分析 由正切函數的性質判斷①；寫出分段函數判斷②；舉例說明③錯誤；利用分離參數法求出a的范圍判斷④．

解答 解：①y=tanx在其定義域內不是增函數，但由無數多個增區(qū)間，故①錯誤；
②$y=sin|{2x+\frac{π}{6}}|$=$\left\{\begin{array}{l}{sin（2x+\frac{π}{6}），x≥-\frac{π}{12}}\\{-sin（2x+\frac{π}{6}），x＜-\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，該函數不是周期函數，故②錯誤；
③已知$\overrightarrow a=（2，λ）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，$λ=-\frac{10}{3}$∈$（{-∞，\frac{6}{5}}）$，此時$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線反向，故③錯誤；
④由y＜0恒成立，得a+2•2^x+4^x＜0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a＜-2^2x-2•2^x在x∈（-∞，1]上恒成立．
由x∈（-∞，1]，得0＜2^x≤2，∴-2^2x-2•2^x∈[-8，0），則a＜-8，故④正確．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的圖象和性質，考查向量共線的條件，訓練了利用分離變量法求參數的取值范圍，是中檔題．