Question

已知四面體ABCD中，，BC=DC=1，其余棱長均為2，且四面體ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由已知中四面體ABCD中，已知，，BC=DC=1，其余棱長均為2，我們?cè)O(shè)A在底面BCD上的射影為E，球的球心為O，利用解直角三角形，求出四面體ABCD外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求出四面體ABCD外接球的面積．
解答：解：設(shè)A在底面BCD上的射影為E，球的球心為O，如圖．
由正弦定理得：2BE===2，
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=，
設(shè)OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB²=OE²+BE²，
即R²=1²+（-R）²，
∴R=
則這個(gè)球的表面積是4πR²=，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積和球的表面積，其中計(jì)算外接球的半徑，確定棱錐的高是關(guān)鍵，而求三棱錐的外接球表面積時(shí)，最難的問題是求外接球的半徑．