Question

用0，1，2，3，4，5，6構(gòu)成無重復數(shù)字的七位數(shù)，其中：
（1）能被25整除的數(shù)有多少個？
（2）設(shè)x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數(shù)字，滿足x＜y＜z的數(shù)有多少個？
（3）偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有多少個？

Answer 1

解：（1）能被25整除的數(shù)有兩類后兩位是50時，總的個數(shù)是A₅⁵=120，
后兩位是25時，先排首位有4種方法，其它四位有A₄⁴，共有4×A₄⁴=96，
所以能被25整除的數(shù)有120+96=216個
（2）0，1，2，3，4，5，6構(gòu)成無重復數(shù)字的七位數(shù)有6A₆⁶，
滿足x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數(shù)字，滿足x＜y＜z的數(shù)共有=720個
（3）先把四個偶數(shù)放在一起，故有A₄⁴種排法，
再把四個偶數(shù)看作一個元素與三個奇數(shù)組成四個元素進行排列，有A₄⁴種排法，總的排法有A₄⁴×A₄⁴=576，
由于此種排法會出現(xiàn)0在首位的現(xiàn)象故從總的計數(shù)中減去O在首位的排法個數(shù)，0在首位時，三個偶數(shù)的排法有A₃³種，三個奇數(shù)排在個，十，百位也有A₃³方法，故0在首位的排法有A₃³×A₃³=36種
所以偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有576-36=540個
分析：（1）探究知，后兩位數(shù)字是50與25時，這樣的整數(shù)能被25整除，分兩類計數(shù)求解；
（2）可求出總的七位數(shù)字個數(shù)，由于x＜y＜z重復計數(shù)A₃³次，用總數(shù)除之求解；
（3）用綁定法把偶數(shù)看作一個元素，求出總的個數(shù)再減去0在首位的個數(shù)即可．
點評：本題考查排列、組合在實際中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解所研究的三個事件，能判斷出能被25整除的法其后兩位是25與50，個位、十位、百位上的數(shù)字是一個組合問題無序，幾個數(shù)必相鄰要用綁定法，在第三問中易因為忘記排除0在首位的情況導致解題失敗，分析問題時考慮全面是避免此類錯誤的保證．