已知a，b，x，y∈R，證明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述結(jié)論求（m2+4n2）（
1
m2
+
4
n2
）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．
分析：把 b2x2+a2y2≥2abxy 的兩邊同時加上a2x2+b2y2，即可得到（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
解答：證明：∵b2x2+a2y2≥2abxy，
∴a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy，
即（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
由不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立，
知（m2+4n2）（
1
m2
+
4
n2
）≥(m×
1
m
+2n×
2
n
)2=25
當(dāng)且僅當(dāng)m2=n2時，等號成立，
即（m2+4n2）（
1
m2
+
4
n2
）的最小值為25．
點評：本題主要考查用綜合法證明不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b、x、y∈R+且
1
a
＞
1
b
，x＞y，求證：
x
x+a
＞
y
y+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b、x、y都是正數(shù)，且x+y=1，比較
ax+by
與x
a
+y
b
的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，x，y均為正數(shù)，且a≠b．
（Ⅰ）求證：（
a2
x
+
b2
y
）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的條件；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=
3
x2
+
9
1-3x2
（0＜x＜
1
3
）的最小值，并指出取最小值時x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（一）已知a，b，c∈R+，
①求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結(jié)論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求證：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的結(jié)論求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，x，y是正實數(shù)，求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，當(dāng)且僅當(dāng)
a
x
=
b
y
時等號成立；
（2）求函數(shù)f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值時x的值．

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