Question

9．已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞0）與直線l：y=x+3，且直線l有唯一的一個(gè)點(diǎn)P，使得過(guò)P點(diǎn)作圓C的兩條切線互相垂直，則r=2；設(shè)EF是直線l上的一條線段，若對(duì)于圓C上的任意一點(diǎn)Q，∠EQF≥$\frac{π}{2}$，則|EF|的最小值=4$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 ①設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，由題意得四邊形PACB為正方形，圓心C到直線y=x+3的距離等于PC，由此求得r的值；
②根據(jù)題意，得出從圓上任一點(diǎn)Q向直線上的兩點(diǎn)連線成角，所成角最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的位置，結(jié)合∠EQF的值求出|EF|的最小值．

解答 解：①∵圓心為C（1，0），半徑為r；
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，
∴PC=$\sqrt{2}$r，
∴圓心C到直線y=x+3的距離等于PC=$\sqrt{2}$r，
即$\frac{|1-0+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$r，
解得r=2；
②由題意，圓心C（1，0）到直線l：y=x+3的距離為2$\sqrt{2}$＞2（半徑），
所以直線l和圓相離；
從圓上任一點(diǎn)Q向直線上的兩點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q在如圖所示的位置時(shí)，∠EQF最小，
又∠EQF≥$\frac{π}{2}$，得∠EQP≥$\frac{π}{4}$；
∴PE≥PQ=PC+CQ=2$\sqrt{2}$+2，
∴EF≥2PQ=4$\sqrt{2}$+4；
即|EF|的最小值為4$\sqrt{2}$+4．
故答案為：2；4$\sqrt{2}$+4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，是難題．