已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f （x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f （x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x∈(
1
4
，
1
2
]時，f（x）＜2x．
分析：（1）令x1=x2=0，依條件③可得f（0）≤0，又由條件（1）得f（0）≥0，利用夾逼法則可求出f（0）的值；
（2）任取0≤x1＜x2≤1，然后根據(jù)f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），可得函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值；
（3）當(dāng)x∈(
1
2
，1]時，可得f（x）≤f（1）=1，當(dāng)x∈(
1
4
，
1
2
]時，則
1
2
＜2x≤1，根據(jù)③可證得結(jié)論．
解答：解：（1）令x1=x2=0，依條件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由條件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x1＜x2≤1可知x2-x1∈（0，1]，則
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
于是當(dāng)0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1因此當(dāng)x=1時，f（x）取最大值1．（9分）
（3）證明：當(dāng)x∈(
1
2
，1]時，f（x）≤f（1）=1
當(dāng)x∈(
1
4
，
1
2
]時，
1
2
＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤
1
2
f（2x）≤
1
2
＜2x   即f（x）＜2x．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的最值，以及恒成立問題，同時考查了賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對于任意x∈[0，1]，總有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且稱f（x）為“友誼函數(shù)”，
請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數(shù)”，求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由．
（3）已知f（x）為“友誼函數(shù)”，且 0≤x1＜x2≤1，求證：f（x1）≤f（x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，則有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N+時，f（x）＜2x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

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