Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若該三角形有兩解，則x取值范圍是2＜x＜2

2

；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，則△ABC的外接圓半徑等于

14 3

3

；③在△ABC中，若c=5，

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，則BC邊的中線AD=

7

2

；⑤設(shè)三角形ABC的BC邊上的高AD=BC，a、b、c分別表示角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊，則

b

c

+

c

b

的取值范圍是[2，

5

]．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

①④⑤

（注：把你認(rèn)為是正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，故取A的度數(shù)為90°和45°進(jìn)行檢驗(yàn)，找出A的范圍，確定出sinA的范圍，由已知的b及B，利用正弦定理表示出a=2

2

sinA，根據(jù)sinA的范圍，得出2

2

sinA的范圍，即為a的取值范圍；
②由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，然后再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出三角形外接圓的半徑；
③由正弦定理表示b與a的比值，代入已知的等式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)A和B為三角形的內(nèi)角，且兩角不相等，得到A和B互余，即C為直角，同時(shí)根據(jù)b與a的比值設(shè)出a與b，再由c的值，利用勾股定理求出a與b的值，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑的公式即可求出；
④利用余弦定理表示出cosB，把三角形的三邊長(zhǎng)代入求出cosB的值，再由D為BC的中點(diǎn)，求出BD的長(zhǎng)，在三角形ABD中，由AB，BD及cosB的值，利用余弦定理即可求出中線AD的長(zhǎng)；
⑤利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積為

1

2

bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底與高乘積的一半表示三角形ABC的面積，兩者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，變形后，將表示出的sinA代入，得到

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA，左邊利用基本不等式求出最小值，右邊利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出右邊式子的最大值，即為

b

c

+

c

b

的最大值，即可得到

b

c

+

c

b

的范圍．

解答：解：①因?yàn)锳C=b=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)A=90°時(shí)圓與AB相切；當(dāng)A=45°時(shí)交于B點(diǎn)，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即

2

2

＜sinA＜1，
∵b=2，B=45°，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=x=

bsinA

sinB

=2

2

sinA，
又

2

2

＜sinA＜1，
∴2

2

sinA∈（2，2

2

），
則x取值范圍是2＜x＜2

2

，本選項(xiàng)正確；
②∵b=8，c=5，A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+25-40=49，
解得：a=7，
設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R，
根據(jù)正弦定理得：2R=

a

sinA

=

7

sin60°

，解得：R=

7 3

3

，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，∴

sinB

sinA

=

cosA

cosB

，即sinBcosB=sinAcosA，
∴

1

2

sin2B=

1

2

sin2A，即sin2B=sin2A，
又A和B為三角形的內(nèi)角，
∴2A+2B=180°或2A=2B，
∵

b

a

=

4

3

，得到a≠b，即A≠B，故2A=2B舍去，
∴A+B=90°，即C為直角，
可設(shè)a=3k（k＞0），則有b=4k，根據(jù)勾股定理列得：（3k）²+（4k）²=25，
解得：k=1，即a=3，b=4，
則三角形內(nèi)切圓的半徑r=

3+4-5

2

=1，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

3

，
又D為BC的中點(diǎn)，∴BD=

1

2

BC=

9

2

，
在三角形ABD中，AB=4，BD=

9

2

，cosB=

2

3

，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=

49

4

，
解得：AD=

7

2

，本選項(xiàng)正確；
⑤∵BC邊上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)，
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA
=

5

（

2 5

5

cosA+

5

5

sinA）
=

5

sin（α+A）≤

5

，
（其中sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

），
又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

∈[2，

5

]，本選項(xiàng)正確，
則正確說(shuō)法的序號(hào)是①④⑤．
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角形的面積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，直角三角形內(nèi)切圓半徑求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．