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19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2.
(Ⅰ)若M是棱PB上一點,且BM=2PM,求證:PD∥平面MAC;
(Ⅱ) 若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求PC與平面ABCD所成角的正切值.

分析 (I)連結(jié)BD交AC于點N,連結(jié)MN,利用△CDN∽△ABN可得BMPM=BNDN=2,于是MN∥PD,故而PD∥平面MAC;
(II)利用面面垂直的性質(zhì)得出PA⊥AB,PA⊥AD,從而PA⊥平面ABCD;
(III)由(2)可知∠PCA為所求線面角,利用勾股定理得出AC,從而計算出tan∠PCA=PAAC

解答 證明:(Ⅰ)連結(jié)BD交AC于點N,連結(jié)MN
∵AB∥CD,
∴△CDN∽△ABN
BNDN=ABCD=2. 
∵BM=2PM,
BMPM=BNDN=2.
∴MN∥PD.
又MN?平面MAC,PD?平面MAC,
∴PD∥平面MAC.  
(Ⅱ)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥AD,AD?平面ABCD,
∴AD⊥平面PAB.∵PA?平面PAB,
∴AD⊥PA. 
同理可證AB⊥PA.
又AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,PA⊥平面ABCD.
∴∠PCA為PC與平面ABCD所成的角. 
∵PA=AD=2,CD=1,
∴AC=AD2+CD2=5,
∴tan∠PCA=PAAC=255.  
∴PC與平面ABCD所成角的正切值為255

點評 本題考查了線面平行,線面垂直的判定,線面角的計算,屬于中檔題.

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