Question

20．為了做好“雙11”促銷活動(dòng)，某電商打算將進(jìn)行促銷活動(dòng)的禮品重新包裝，設(shè)計(jì)方案如下：將一塊邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再將剩下的陰影部分折成一個(gè)四棱錐形狀的禮品袋S-EFGH，其中A，B，C，D重合于點(diǎn)O，E與E′重合，F(xiàn)與F′重合，G與G′重合，H與H′重合（如圖所示），設(shè)AE=BE′=x（cm）．
（1）求證：平面SEG⊥平面SFH；
（2）若電商要求禮品袋的側(cè)面積不少于128cm²，試求x的取值范圍；
（3）當(dāng)x=5時(shí)，該電商打算將禮品袋S-EFGH全部放入一個(gè)球形狀的包裝盒內(nèi)密封，求包裝盒的內(nèi)徑R的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明
（2）用正方形的面積減去4（S_△EAH'+S_△SEE'），即可得到四棱錐的側(cè)面積，結(jié)合一元二次不等式進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)正四棱錐S-EFGH的外接球的性質(zhì)求出外接球的半徑進(jìn)行求解即可．

解答 證明：∵折后A，B，C，D重合于一點(diǎn)O，
∴拼接成底面EFGH的四個(gè)直角三角形必為全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面圖形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，
∴EG⊥平面SFH，
又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．
（2）∵AE=BE′=x（cm）．
∴EE'=20-2x，有EE'＞0得0＜x＜10，
則△SEE'的高為20，
則禮品袋的側(cè)面積S=20×20-4（S_△EAH'+S_△SEE'）
=400-4[（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（20-2x）×10]=400-（2x²+400-40x）=-2x²+40x，
由S=-2x²+40x≥128得x²-20x+64≤0，得4≤x≤16，
∵0＜x＜10，∴4≤x＜10．
（3）當(dāng)x=5時(shí)，OE=OF=AE=5，則EF=5$\sqrt{2}$，包裝盒的內(nèi)徑最小值，
即為正四棱錐S-EFGH的外接球的半徑R，
設(shè)正四棱錐的外接球的球心為O'，
則O'在正四棱錐S-EFGH的高SO上，連接EO'，
則Rt△SEO中，SO=10，
∴O'E=R，O'O=10-R，
Rt△EOO'中，OE²+O'O²=O'E²，
∴5²+（10-R）²=R²，
即25+100-20R=0，得R=$\frac{125}{20}=\frac{25}{4}$=6.25，
即包裝盒的內(nèi)徑R的最小值是6.25．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判斷以及四棱錐外接球的性質(zhì)，以及四棱錐側(cè)面積的計(jì)算，利用函數(shù)思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．