Question

6．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），以C的右焦點F（c，0）為圓心，以a為半徑的圓與C的一條漸近線交于A，B兩點，若|AB|=$\frac{2}{3}$c，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{26}}}{13}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相交時的弦長公式結(jié)合雙曲線離心率的公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵雙曲線的一個焦點為F（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，即bx-ay=0，
∴焦點到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，
∵|AF|=|BF|=a，
∴|AD|=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，
則|AB|=2|AD|=2$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{2}{3}$c，
平方得4（a²-b²）=$\frac{4}{9}$c²，
即a²-c²+a²=$\frac{1}{9}$c²，
則2a²=$\frac{10}{9}$c²，
則c²=$\frac{9}{5}$a²，
則c=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$a，
即離心率e=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．