Question

 (本小題滿分12分，(Ⅰ)小問4分，(Ⅱ)小問8分.)如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率=,一條準(zhǔn)線的方程是=.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)動點(diǎn)滿足:=,其中,是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為.問:是否存在定點(diǎn),使得與點(diǎn)到直線：=的距離之比為定值？若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【命題意圖】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解與橢圓的定植問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題能力、運(yùn)算求解能力和探究問題能力，難度較大.

【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2，=，∴==2，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

(Ⅱ)設(shè)P(，)，，，則由=，得

==，

∴=，=，

  ∵,在橢圓上，∴，，

∴==

==.

設(shè),分別表示直線，的斜率，由題設(shè)條件知，==，

∴，  ∴=20， 

∴點(diǎn)在橢圓上，該橢圓的右焦點(diǎn)為(,0),離心率=，右準(zhǔn)線為：=，

∴根據(jù)橢圓的第二定義，存在定點(diǎn)(,0)，使得與點(diǎn)到直線的距離之比為定值.