在如圖1所示的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=AD=BC=
12
CD=a
,E為CD中點.若沿AE將三角形DAE折起,使平面DAE⊥平面ABCE,連接DB,DC,得到如圖2所示的幾何體D-ABCE,在圖2中解答以下問題:
(Ⅰ)設(shè)F為AB中點,求證:DF⊥AC;
(Ⅱ)求二面角A-BD-C的正弦值.
分析:(Ⅰ)取AE中點H,連接HF,連接EB,利用面面垂直,證明線面垂直,即DH⊥平面ABCE,進一步證明AC⊥平面DHF,從而可得線線垂直;
(Ⅱ)建立空間直角坐標系,求出面DCB的法向量
m
=(0,1,1)
,面DAB的法向量
n
=(1,
3
3
,
3
3
)
,利用向量的夾角公式,可得二面角A-BD-C的正弦值.
解答:(Ⅰ)證明:取AE中點H,連接HF,連接EB
因為△DAE為等邊三角形,所以DH⊥AE
因為平面DAE⊥平面ABCE,平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE,
因為AC?平面ABCE
所以AC⊥DH…(2分)
因為ABCE為平行四邊形,CE=BC=a
所以ABCE為菱形,所以AC⊥BE
因為H、F分別為AE、AB中點,所以HF∥BE
所以AC⊥HF…(4分)
因為HF?平面DHF,DH?平面DHF,且HF∩DH=H
所以AC⊥平面DHF,又DF?平面DHF
所以DF⊥AC…(6分)
(Ⅱ)解:連接BH,EB
由題意得三角形ABE為等邊三角形,所以BH⊥AE
由(Ⅰ)知DH⊥底面ABCE以H為原點,分別以HA,HB,HD所在直線為x,y,z軸
建立空間直角坐標系,如圖所示
A(
a
2
,0,0),B(0,
3
2
a,0),D(0,0,
3
2
a),C(-a,
3
2
a,0)

所以
BD
=(0,-
3
2
a,
3
2
a)
,
BC
=(-a,0,0)

設(shè)面DCB的法向量為
m
=(x,y,z)
,則
-ax=0
-
3
2
ay+
3
2
az=0

不妨設(shè)
m
=(0,1,1)
…(8分)
設(shè)面DAB的法向量
n
=(x′,y′,z′)
,又
DA
=(
a
2
,0,-
3
2
a)

x′-
3
z′=0
y′-z′=0
,取
n
=(1,
3
3
,
3
3
)
…(10分)
所以cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
10
5

所以二面角A-BD-C的正弦值為
15
5
…(12分)
點評:本題看下線面垂直,考查線線垂直,考查面面角,考查利用空間向量解決空間角問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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在如圖1所示的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=AD=BC=
12
CD=a
,E為CD中點.若沿AE將三角形DAE折起,并連接DB,DC,得到如圖2所示的幾何體D-ABCE,在圖2中解答以下問題:

(Ⅰ)設(shè)G為AD中點,求證:DC∥平面GBE;
(Ⅱ)若平面DAE⊥平面ABCE,且F為AB中點,求證:DF⊥AC.

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(Ⅰ)設(shè)G為AD中點,求證:DC∥平面GBE;
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(Ⅰ)設(shè)G為AD中點,求證:DC∥平面GBE;
(Ⅱ)若平面DAE⊥平面ABCE,且F為AB中點,求證:DF⊥AC.

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