Question

20．（1）求證：cotα=tanα+2cot2α；
（2）請利用（1）的結論證明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（3）請你把（2）的結論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：
（4）化簡：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

Answer 1

分析 （1）tanα+2cot2α=tanα+2×$\frac{1-ta{n}^{2}α}{2tanα}$，由此能證明cotα=tanα+2cot2α．
（2）由cotα=tanα+2cot2α，得到tanα+2tan2α+4cot4α=cotα-2cot2α+2cos2α-4cot4α+4cot4α，由此能證明cotα=tanα+2tan2α+4cot4α．
（3）一般地，cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα，n∈N^*．再由合情推量進行證明．（4）利用（3）的一般結論直接化簡．

解答 證明：（1）tanα+2cot2α=tanα+$\frac{2}{tan2α}$
=tanα+2×$\frac{1-ta{n}^{2}α}{2tanα}$
=tanα+$\frac{1}{tanα}$-tanα
=cotα，
∴cotα=tanα+2cot2α．
（2）∵cotα=tanα+2cot2α，
∴tanα+2tan2α+4cot4α
=cotα-2cot2α+2cos2α-4cot4α+4cot4α
=cotα，
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α．
解：（3）一般地，cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα，n∈N^*．
證明：∵cotα=tanα+2cot2α，∴cot2α=tan2α+2cot4α，
∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+2²cot2²α，
以此類推得cotα=tanα+2tan2α+2²tan2²α+…+2^n-1tan2^n-1α+2ⁿcot2ⁿα，n∈N^*．
（4）tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°
=tan5°+2tan10°+4tan20°+8cot40°
=cot5°．

點評 本題考查三角函數(shù)的證明、化簡，是中檔題，解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)關系式、正切二倍角公式能求出結果．