Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為

當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

設(shè)，點(diǎn)是曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)使得成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析.

【解析】

當(dāng)，，由題意，令，則，解得，由此能求出或時(shí)，在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

由，得，假設(shè)存在，則，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)使得成立。

當(dāng)時(shí)，，，

，，

由題意得，即，

令，則，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)弟增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則或時(shí)，在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

由，得，

假設(shè)存在，

則有，

即，

，

，

，

即，，，

令，則，

兩邊同時(shí)除以，得，即，

令，，

令在上單調(diào)遞增，且，

對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，

在上單調(diào)遞增，，

對(duì)于恒成立，

不成立，

同理，時(shí)，也不成立

不存在實(shí)數(shù)使得成立．