Question

17．若直線(xiàn)2ax+by-1=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)y=cosπx+1（0＜x＜1）的對(duì)稱(chēng)中心，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)，推出ab關(guān)系式，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最值．

解答 解：曲線(xiàn)y=cosπx+1（0＜x＜1）的對(duì)稱(chēng)中心（$\frac{1}{2}$，1）．
直線(xiàn)2ax+by-1=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)y=cosπx+1（0＜x＜1）的對(duì)稱(chēng)中心，
可得a+b=1．
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=3+$\frac{2a}$$+\frac{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}a$，a+b=1，即b=2$-\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}-1$時(shí)，表達(dá)式取得最小值．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與三角函數(shù)的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．