Question

1．一個球與一個正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）的三個側(cè)面和兩個底面都相切．已知這個球的體積是$\frac{9π}{2}$，那么這個三棱柱的體積是（　�。�

• A． 81$\sqrt{3}$
• B． $\frac{81}{2}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{81}{4}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{81}{16}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)球的體積計算球的半徑，由于球為棱柱的內(nèi)切球，故球的大圓為棱柱底面三角形的內(nèi)切圓，棱柱的高為球的直徑．

解答 解：設(shè)球的半徑為r，則$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{9π}{2}$，解得r=$\frac{3}{2}$．
∵球與正三棱柱的三個側(cè)面相切，
∴球的大圓為棱柱底面正三角形的內(nèi)切圓，
∴棱柱的底面邊長為2$\sqrt{3}$r=3$\sqrt{3}$．
∵球與正三棱柱的兩個底面相切，
∴棱柱的高為2r=3．
∴三棱柱的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{3}）^{2}×3$=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查了棱柱與內(nèi)切球的關(guān)系，屬于中檔題．