【題目】已知函數(shù)f(x)=excosx﹣x.(13分)
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值和最小值.
【答案】
(1)
解:函數(shù)f(x)=excosx﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,
可得曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,
切點為(0,e0cos0﹣0),即為(0,1),
曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1;
(2)
解:函數(shù)f(x)=excosx﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,
令g(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,
則g(x)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=ex(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2exsinx,
當x∈[0, ],可得g′(x)=﹣2exsinx≤0,
即有g(shù)(x)在[0, ]遞減,可得g(x)≤g(0)=0,
則f(x)在[0, ]遞減,
即有函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值為f(0)=e0cos0﹣0=1;
最小值為f( )=e cos ﹣ =﹣ .
【解析】(1.)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點,由點斜式方程即可得到所求方程;
(2.)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),再令g(x)=f′(x),求出g(x)的導(dǎo)數(shù),可得g(x)在區(qū)間[0, ]的單調(diào)性,即可得到f(x)的單調(diào)性,進而得到f(x)的最值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個生產(chǎn)公司投資A生產(chǎn)線500萬元,每萬元可創(chuàng)造利潤萬元,該公司通過引進先進技術(shù),在生產(chǎn)線A投資減少了x萬元,且每萬元的利潤提高了;若將少用的x萬元全部投入B生產(chǎn)線,每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元,其中.
若技術(shù)改進后A生產(chǎn)線的利潤不低于原來A生產(chǎn)線的利潤,求x的取值范圍;
若生產(chǎn)線B的利潤始終不高于技術(shù)改進后生產(chǎn)線A的利潤,求a的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知隨機變量ξi滿足P(ξi=1)=pi , P(ξi=0)=1﹣pi , i=1,2.若0<p1<p2< ,則( )
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù),點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù),i=1,2,3.
①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1 , Q2 , Q3中最大的是 .
②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù),則p1 , p2 , p3中最大的是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列,記cn=max{b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,bn﹣ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1 , x2 , …,xs}表示x1 , x2 , …,xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(13分)
(1)若an=n,bn=2n﹣1,求c1 , c2 , c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列;
(2)證明:或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當n≥m時, >M;或者存在正整數(shù)m,使得cm , cm+1 , cm+2 , …是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)= ,其中集合D={x|x= ,n∈N*},則方程f(x)﹣lgx=0的解的個數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°.
(Ⅰ)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(2)若直線交軸負半軸于,交軸正半軸于,求的面積的最小值并求此時直線的方程;
(3)已知點,若點到直線的距離為,求的最大值并求此時直線的方程.
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