Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 平面， ，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上移動(dòng).

（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，試判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：無論點(diǎn)在的何處，都有；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）面；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析：

(1)由于分別為的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)果； (2)因?yàn)?/span>面，可得；由于為矩形，則，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得面，進(jìn)而可得.再由于，且為中點(diǎn)，可得，于是可證面，進(jìn)而求證出結(jié)論；(3) 過作于， 于，連接，則即為所求二面角的平面角.然后再中即可求出的余弦值，即可求出二面角的余弦值.

試題解析：

(1)∵分別為的中點(diǎn)，

∴，∵面面，∴面.

(2)∵面面，∴.

∵為矩形，∴，∵，∴面，

∵面，∴.

∵，且為中點(diǎn)，∴.

∵，∴面，∵面，∴.

(3)

過作于， 于，連接，則即為所求.易得.

∵為矩形，∴，所以點(diǎn)到的距離為.

∵，∴，∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，

∴.

在中.

∴，

即二面角的余弦值為.