Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 利用倍角公式降冪后再由兩角差的正弦化簡(jiǎn)．
（Ⅰ）由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求得x的取值范圍可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）由函數(shù)的伸縮和平移變換求得g（x）的解析式，結(jié)合x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x=$\sqrt{3}sin2x+1-cos2x$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）+1=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．
（Ⅰ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，
得y=2sin[2（x$+\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]+1=2sin2x+1．
再向下平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=2sin2x．
由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，得2x∈[$-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
∴sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]，
則函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}，2$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．