Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知D點(diǎn)在直線A₁B上，AD⊥平面A₁BC．
（Ⅰ）求證：BC⊥AB；
（Ⅱ）若BC=2，AB=4，AD=2

3

，P為AC邊的中點(diǎn)，求三棱錐P-A₁BC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AD⊥BC，通過AA₁⊥平面ABC推出AA₁⊥BC，利用BC⊥平面A₁AB的性質(zhì)定理證明BC⊥AB．
（Ⅱ）求出∠ABD=

π

3

，然后AA₁的值．利用V_P-A1BC=V_A1-PBC=

1

2

V_A1-ABC求解即可．

解答： （Ⅰ）證明：由AD⊥平面ABC，BC?平面ABC得AD⊥BC   ①
又AA₁⊥平面ABC⇒AA₁⊥BC   ②
AA₁∩AD=A     ③
由①②③得BC⊥平面A₁AB⇒BC⊥AB．

（Ⅱ）解：在Rt△ADB中，sin∠ABD=

2 3

4

=

3

2

，故∠ABD=

π

3

，
Rt△AA₁B中，AA₁=ABtan∠ABD=4

3

，
故V_P-A1BC=V_A1-PBC=

1

2

V_A1-ABC=

1

2

×

1

3

×

1

2

×2×4×4

3

=

8 3

3

即三棱錐P-A₁BC的體積為

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力、計(jì)算能力以及推理能力．