Question

5．已知|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，則向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為30°．

Answer 1

分析 不妨取|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|=2，利用向量的數(shù)量積公式，即可求出向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角．

解答 解：不妨取|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|=2，則|4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{16+8•1•2•（-\frac{1}{2}）+4}$=2$\sqrt{3}$，
（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=4$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow•\overrightarrow{a}$=4+2$•1•（-\frac{1}{2}）$=3，
∴向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角的余弦為$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評 本題考查向量4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角，考查向量的數(shù)量積公式，正確利用公式是關(guān)鍵．