Question

已知構(gòu)成某系統(tǒng)的元件能正常工作的概率為p（0＜p＜1），且各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的．今有2n（n大于1）個(gè)元件可按如圖所示的兩種連接方式分別構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)甲、乙． 
（1）試分別求出系統(tǒng)甲、乙能正常工作的概率p₁，p₂；
（2）比較p₁與p₂的大小，并從概率意義上評(píng)價(jià)兩系統(tǒng)的優(yōu)劣．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖知，甲系統(tǒng)是先串聯(lián)再并聯(lián)，可先求出每個(gè)串聯(lián)的電路正常工作的概率再求整個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率，乙系統(tǒng)是先并聯(lián)再串聯(lián)，同理可求出整個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率；
（2）由（1）的結(jié)果，對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率進(jìn)行比較即可，由于兩個(gè)系統(tǒng)的概率與自然數(shù)n有關(guān)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明

解答：解：（1）由圖知，甲系統(tǒng)中每個(gè)通路能正常工作的概率為pⁿ，故整個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率是p₁=1-（1-pⁿ）²=pⁿ（2-pⁿ），
乙系統(tǒng)每個(gè)小并聯(lián)電路能正常工作的概率是p（2-p），故整個(gè)系統(tǒng)能正常工作的概率是p₂=pⁿ（2-p）ⁿ．（4分）
（2）由于p₂-p₁=pⁿ[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]，故比較p₁與p₂的大小可通過(guò)比較[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]符號(hào)，
當(dāng)n=2時(shí)，有（2-p）²-（2-p²）=2（1-p）²＞0  （0＜p＜1）．故有n=2時(shí)，（2-p）²＞2-p²，
假設(shè)n=k時(shí)，有（2-p）^k＞2-p^k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，（2-p）^k+1-（2-p^k+1）=（2-p）（2-p）^k-（2-p^k+1）=2（1-p）（2-p^k）
由于0＜p＜1，可得2（1-p）（2-p^k）＞0，故有n=k+1時(shí)，（2-p）^k+1＞（2-p^k+1），
綜上證得p₂＞p₁，
由此結(jié)論知，在所用的電子器件數(shù)目一樣的情況下，乙系統(tǒng)工作情況比甲系統(tǒng)更穩(wěn)定，出現(xiàn)不正常工作的可能小，較可靠．

點(diǎn)評(píng)：本題考察數(shù)學(xué)歸納法，解題的的關(guān)鍵是理解數(shù)學(xué)歸納法的證明規(guī)律及其證明步驟，以及題解本題的物理背景，正確計(jì)算出兩個(gè)系統(tǒng)的概率，本題綜合性強(qiáng)，考查了依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的能力及推理判斷的能力，難度較高運(yùn)算量較大，易因?yàn)椴焕斫忸}意而導(dǎo)致無(wú)法下手或者理解出錯(cuò)，