分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(2),f′(2)的值,代入切線方程即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性即可;
(Ⅲ)問題等價(jià)于ax+a−2x+2−2a−2lnx≥0(a>0)在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=ax+a−2x+2−2a−2lnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)當(dāng) a=1時(shí),f(x)=x−1x,f′(x)=1+1x2…(2分)
f(2)=32,f′(2)=54…(3分)
所以,函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y−32=54(x−2)
即:5x-4y-4=0…(4分)
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|x≠0}…(1分)
{f^'}(x)=a-\frac{a-2}{x^2}=\frac{{a{x^2}+(2-a)}}{x^2}(a>0)…(2分)
當(dāng)0<a≤2時(shí),f′(x)≥0恒成立,
所以,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增
當(dāng)a>2時(shí),令f′(x)=0,
即:ax2+2-a=0,x1=−√a−2a,x2=√a−2a,
f′(x)>0,x>x2或x<x1;
f′(x)<0,x1<x<0或0<x<x2,
所以,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(−∞,−√a−2a)和(√a−2a,+∞),
單調(diào)減區(qū)間為(−√a−2a,0)和(0,√a−2a).…(4分)
(Ⅲ)因?yàn)閒(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,
則{g^'}(x)=a-\frac{a-2}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x-a+2}}{x^2}=\frac{(x-1)[ax+(a-2)]}{x^2}.
令g′(x)=0,則x1=1,x2=−a−2a…(2分)
若−a−2a=1,即a=1時(shí),g′(x)≥0,
函數(shù)g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,
所以,f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立; …(3分)
若−a−2a>1,即a<1時(shí),當(dāng)x∈(0,1),(−a−2a,+∞)時(shí),
g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,−a−2a)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減
所以,g(x)在[1,+∞)上的最小值為g(−a−2a),
因?yàn)間(1)=0,所以g(−a−2a)<0不合題意.…(4分)
−a−2a<1,即a>1時(shí),當(dāng)x∈(0,−a−2a),(1,+∞)時(shí),
g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(−a−2a,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
所以,g(x)在[1,+∞)上的最小值為g(1)
又因?yàn)間(1)=0,所以f(x)≥2lnx恒成立
綜上知,a的取值范圍是[1,+∞).…(5分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.
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A. | 2p | B. | p | C. | \frac{p}{2} | D. | \frac{p}{4} |
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