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9.已知函數(shù)fx=ax+a2x+22a(a>0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(2),f′(2)的值,代入切線方程即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性即可;
(Ⅲ)問題等價(jià)于ax+a2x+22a2lnx0a0在[1,+∞)上恒成立,令gx=ax+a2x+22a2lnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)  a=1時(shí),fx=x1x,fx=1+1x2…(2分)
f2=32,f2=54…(3分)
所以,函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y32=54x2
即:5x-4y-4=0…(4分)
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)椋簕x|x≠0}…(1分)
{f^'}(x)=a-\frac{a-2}{x^2}=\frac{{a{x^2}+(2-a)}}{x^2}(a>0)…(2分)
當(dāng)0<a≤2時(shí),f′(x)≥0恒成立,
所以,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增
當(dāng)a>2時(shí),令f′(x)=0,
即:ax2+2-a=0,x1=a2ax2=a2a,
f′(x)>0,x>x2或x<x1;
f′(x)<0,x1<x<0或0<x<x2
所以,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為a2aa2a+,
單調(diào)減區(qū)間為a2a00a2a.…(4分)
(Ⅲ)因?yàn)閒(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,
{g^'}(x)=a-\frac{a-2}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x-a+2}}{x^2}=\frac{(x-1)[ax+(a-2)]}{x^2}
令g′(x)=0,則x1=1x2=a2a…(2分)
a2a=1,即a=1時(shí),g′(x)≥0,
函數(shù)g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,
所以,f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立;                    …(3分)
a2a1,即a<1時(shí),當(dāng)x01a2a+時(shí),
g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x1a2a時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減
所以,g(x)在[1,+∞)上的最小值為ga2a,
因?yàn)間(1)=0,所以ga2a0不合題意.…(4分)
a2a1,即a>1時(shí),當(dāng)x0a2a1+時(shí),
g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)xa2a1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
所以,g(x)在[1,+∞)上的最小值為g(1)
又因?yàn)間(1)=0,所以f(x)≥2lnx恒成立
綜上知,a的取值范圍是[1,+∞).…(5分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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